矢量在三维空间的旋转

需求

将空间一个矢量u旋转到v，求旋转矩阵R

方法

直观上，绕某个轴k(x,y,z)旋转角度θ即可。

其中k是单位矢量，计算方法为u×v，在 Matlab 中为cross(u,v)，然后再归一化。

θ：右手大拇指指向k，其余四指环绕的方向为θ的正方向

根据罗德里格旋转公式-百度百科与旋转矩阵-维基百科，有v=Ru，其中

可化简为：

补充：角度说明

要把 B1 或者 B2 旋转到 A 的位置时，不用担心旋转角度是 180° 到 360° 之间的问题，因为之所以你认为角度会大于 180 是因为你已经假设了一个转轴。实际上，参考B<font style="color:rgb(33, 33, 33);">×A</font>定义的转轴，旋转角度始终在 0~180° 之间。

点积：计算两矢量角度大小（0~180）

叉积：计算转轴(含方向)

在几何上，cross(A,B) =A×B ，A×B 同时与 A 和 B 正交

综上

计算 A->B 旋转中将用于参考的转轴k，k=cross(A,B),再归一化
使用点积计算两个矢量 A 和 B 的夹角a(0~180)
则矢量A绕转轴k旋转角度a即可与矢量B重合

Matlab 代码

计算从原始向量oriVec到目标向量tarVec的旋转矩阵R

clc;clear

oriVec = [0; 1; 1];  % origin Vec
tarVec = [0; -1; -1];  % target Vec

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
k = cross(oriVec,tarVec);
Nk = length(find(k==0));
Nzero = length(find(tarVec==0));
if Nk==3 && Nzero==2
    II = find(tarVec==0);
    tarVec(II(1)) = tarVec(II(1))+1e-10;
    k = cross(oriVec,tarVec);
else
    [~,II] = max(abs(tarVec));
    tarVec(II) = tarVec(II)+1e-10;
    k = cross(oriVec,tarVec);
end
k = k/norm(k);
theta = acos(dot(oriVec,tarVec)/norm(oriVec)/norm(tarVec));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x = k(1); y = k(2); z = k(3);
CA = cos(theta); SA = sin(theta); oneCA = 1 - CA;
R = [CA+oneCA*x*x,   oneCA*x*y-SA*z,   oneCA*x*z+SA*y;
     oneCA*y*x+SA*z, CA+oneCA*y*y,     oneCA*y*z-SA*x;
     oneCA*z*x-SA*y, oneCA*z*y+SA*x,   CA+oneCA*z*z];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
targetTest = R*oriVec